Livre d’exercices mathematiques BCG
Livre d’exercices mathématiques
1. Relation.
1. Assemblage et Termes
Les signes d'une théorie peuvent inclure :
- Lettres
- Signes logiques : ¬, ∧, ∨, ...
- Symboles spécifiques : τ, ∈, ⊆, ≤, ∀, ∃, =, ...
Assemblage : Une suite de signes, par exemple, l'assemblage ∨ ¬ se représente par ⇒.
Terme : Un assemblage se réduisant à une lettre ou commençant par un τ et figurant dans une construction formative.
2. Relation
- Relation : Un assemblage représentant une assertion ou proposition sur ses objets, figurant dans une construction formative.
3. Construction Formative
- Une construction formative d'une théorie T est une suite d'assemblages (termes ou relations) vérifiant une des conditions suivantes :
- a) A est une lettre ;
- b) Il y a dans la suite une relation B précédant A telle que A soit ¬ B ;
- c) Il y a dans la suite deux relations B et C précédant A, telle que A soit ∨ B C (ou B ∨ C) ;
- d) Il y a dans la suite une relation B précédant A et une lettre x telle que A soit τₓ(B) ;
- e) Il y a un signe spécifique s de poids n de T, et n termes A₁, A₂, ..., Aₙ précédant A, tels que A soit s A₁ A₂ ... Aₙ.
4. Relations Spécifiques
- Négation : ¬B, se lit NON B.
- Disjonction : B ∨ C, se lit B OU C.
- Conjonction : B ∧ C, se lit B ET C, noté ¬ (¬ B ∨ ¬ C).
- Implication : B ⇒ C, se lit B IMPLIQUE C, noté ¬B ∨ C.
- Équivalence : B ⇔ C, se lit B EQUIVAUT A C, noté (B ⇒ C) ∧ (C ⇒ B).
5. Axiomes d'une Théorie Logique
- Une théorie logique T inclut les schémas d'axiomes S1 à S4 :
- S1. Si A est une relation de T, (A ∨ A) ⇒ A est un axiome de T.
- S2. Si A et B sont des relations de T, la relation A ⇒ (A ∨ B) est un axiome de T.
- S3. Si A et B sont des relations de T, la relation (A ∨ B) ⇒ (B ∨ A) est un axiome de T.
- S4. Si A, B et C sont des relations de T, la relation (A ⇒ B) ⇒ ((C ∨ A) ⇒ (B ∨ A)) est un axiome de T.
6. Théorème et Démonstration
- Théorème : Relation dans une démonstration, aussi appelée "relation vraie" dans T.
- Démonstration : Suite de relations où chaque relation R satisfait une des conditions suivantes :
- a) R est un axiome explicite de T.
- b) R résulte de l'application d'un schéma d'axiome.
- c) Il y a dans la suite deux relations S et T précédant R, telles que T soit S ⇒ R (règle de modus ponens).
7. Quantificateurs
- Quantificateurs : Symboles abréviateurs ∃ (existentiel) et ∀ (universel).
- (∃ x) R : "Il existe un x tel que R".
- (∀ x) R : "Pour tout x, R".
- Relations avec quantificateurs : Si R est une relation, (∃ x) R et (∀ x) R sont des relations.
8. Table de Vérité
- Table de vérité : Montre la valeur de vérité (0 pour faux, 1 pour vrai) des relations logiques.
- A B ¬ A A ∨ B A ∧ B A ⇒ B A ⇔ B
- 0 0 1 0 0 1 1
- 0 1 1 1 0 1 0
- 1 0 0 1 0 0 0
- 1 1 0 1 1 1 1
9. Appartenance et Théorie des Ensembles
- Appartenance : "x est un élément de l'ensemble E" noté x ∈ E.
- La théorie des ensembles est une théorie logique, quantifiée et égalitaire avec les schémas d'axiomes S1 à S7 :
- S6. (T = U) ⇒ (R | T | ⇔ R | U |).
- S7. (∀x)(R ⇔ S) ⇒ (τₓ(R) = τₓ(S)).
Ces concepts sont fondamentaux pour comprendre les bases des théories logiques et des ensembles.
exercices,exercices de maths,mathématiques,exercices de maths 3eme,exercices de maths au collège,outils mathématiques pour physique,exercices pou le bfem,les fractions rationnelles exercices corrigés,les suites numériques exercice,exercice atomistiaue,les suites numérique exercice corrigée,exercice,maths statistique,etude de fonction exercice,magnétostatique,les suites numeriques,atomistique,unité de masse atomique,theoreme stoks
Cours BCG, Vous trouvez ici tous le supports et la documentation des modules BCG Biologie Chimie Géologie S1 S2 S3 S4 ensignés à la FST du Maroc , cours , exercices ,TP et TD, pour vous aidez a bien préparer aux examens et obtenir les meilleurs notes .
