Exercices avec solution en analyse I BCG

Soit l’application $f$ définie, pour tout $x$ , par : $f(x) = x^2 - 2$

Montrer qu’il existe $\alpha \in [0,2]$ tel que $f(\alpha) = 0$
Soit $f(x) = x^2 - 2$ . Nous cherchons un point fixe de $f$ sur l'intervalle $[0, 2]$ .
Considérons la fonction $g(x) = x^2 - 2$ .
- $g(0) = 0^2 - 2 = -2$
- $g(2) = 2^2 - 2 = 2$
$g$ est continue sur $[0, 2]$ et $g(0) \cdot g(2) < 0$ , donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\alpha \in [0, 2]$ tel que $g(\alpha) = 0$ .
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0, 2]$ , en déduire que $\alpha$ est unique
Calculons la dérivée de $f$ : $f'(x) = 2x$
Pour tout $x \in [0, 2]$ , $f'(x) = 2x > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 2]$ . Puisque $f$ est strictement croissante, elle est injective sur $[0, 2]$ , ce qui implique que le point où $f(x) = 0$ est unique.

Soit la fonction $f$ définie sur $[0, \infty[$ par $f(x) = e^{-x}$ , avec $a \in [0,1[$ .

Montrer qu’il existe un unique $\alpha \in [0, \infty[$ tel que $f(\alpha) = \alpha$
La fonction $g(x) = e^{-x}$ est continue et $g(x) \in [0, 1]$ pour tout $x \geq 0$ .
- $g(0) = 1$
- $\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$
Puisque $g$ est continue, strictement décroissante et $g(0) > 0$ , par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique $\alpha \in [0, \infty[$ tel que $g(\alpha) = \alpha$ .
Montrer que $f(x) = e^{-x}$ est strictement décroissante sur $[0, \infty[$
Calculons la dérivée de $f$ : $f'(x) = -e^{-x}$
Pour tout $x \in [0, \infty[$ , $f'(x) = -e^{-x} < 0$ , donc $f$ est strictement décroissante sur $[0, \infty[$ .
En déduire que la suite $x_{n+1} = f(x_n)$ est décroissante et qu’elle converge vers une limite
Supposons que $x_0 \in [0,1]$ . La suite $(x_n)$ est définie par $x_{n+1} = e^{-x_n}$ .
Puisque $f$ est strictement décroissante et $x_0 \in [0,1]$ , $x_1 = f(x_0) \leq x_0$ . De plus, par récurrence, $x_{n+1} \leq x_n$ pour tout $n \geq 0$ . Donc, $(x_n)$ est décroissante et bornée inférieurement par 0. Par conséquent, $(x_n)$ converge vers une limite $L$ .
Déterminer $L$
La limite $L$ satisfait $L = e^{-L}$ . En résolvant cette équation, on trouve que $L = \alpha$ , l'unique solution de $e^{-x} = x$ .

Soit $a \in [0,1]$ . Soit $f$ une fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x) = x^2 + a$ .

Montrer qu’il existe un unique $\alpha \in [0,1]$ telle que $f(\alpha) = \alpha$
Considérons la fonction $g(x) = x^2 + a - x$ .
- $g(0) = a \geq 0$
- $g(1) = 1 + a - 1 = a \geq 0$
Puisque $g(x) = x^2 + a - x$ est continue et que $g(0) = a > 0$ et $g(1) = a < 1$ , il existe un unique $\alpha \in [0,1]$ tel que $g(\alpha) = 0$ .
Montrer que pour tout $x \in [0,1]$ , $f(x) = x^2 + a$
Soit $f(x) = x^2 + a$ .
- $f(0) = a$
- $f(1) = 1 + a$
Pour tout $x \in [0,1]$ , $f(x)$ est bien défini.
En déduire que $x_n$ est monotone et qu’elle converge vers une limite $\alpha$
Soit $x_0 \in [0,1]$ et $x_{n+1} = f(x_n)$ .
Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $[0,1]$ , la suite $(x_n)$ est monotone et converge vers $\alpha$ , l'unique point fixe de $f$ .
Supposons qu’il existe $\alpha$ tel que pour tout $x \in [0,1]$ , $f(\alpha) = \alpha$
a. Calculer la limite de $x_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini
La limite est $\alpha$ , l'unique point fixe de $f$ .
b. Montrer qu’il y a une contradiction et en déduire la limite de $x_n$
La limite est $\alpha$ , car $f(x) = x^2 + a$ a un unique point fixe sur $[0,1]$ .

Soient $a$ et $b$ des nombres réels tels que $a < b$ et une application de $[a, b]$ dans $[a, b]$
a) On suppose que pour tout $x, y \in [a, b]$ , on a : $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|$
Montrons que $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Puisque $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|$ , $f$ est une contraction, donc continue.
En déduire qu’il existe $\alpha \in [a, b]$ tel que $f(\alpha) = \alpha$ .
Par le théorème du point fixe de Banach, il existe $\alpha \in [a, b]$ tel que $f(\alpha) = \alpha$ .
b) On suppose maintenant que pour tout $x, y \in [a, b]$ , on a : $|f(x) - f(y)| < |x - y|$
Montrons qu’il existe un unique $\alpha \in [a, b]$ tel que $f(\alpha) = \alpha$ .
Puisque $f$ est une contraction stricte, il existe un unique point fixe $\alpha$ .
On désigne par $g$ l’application de $[a, b]$ dans $\mathbb{R}$ , définie pour tout $x \in [a, b]$ par : $g(x) = f(x) - x$
a) On pose $h(x) = f(x) - x$
Montrons que $h$ est continue.
Puisque $f$ et $g$ sont continues, $h$ est continue.
b) **En déduire, en montrant que $h([a, b]) \subset [a, b]$ , qu’il existe un unique ( \alpha \